a) Arătați că $\displaystyle \det(X(3, 1)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(a, b) \cdot X(c, d) = X(ac + 9bd, ad + bc)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, c, d$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m, n)$ pentru care $\displaystyle \det(X(m, n)) = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det (A(2))=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(y)=3I_2$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle p$ pentru care $\displaystyle \det(A(p) \cdot A(p)+I_2)=5$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(-1))=12$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(X(a))=0$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,4)$, $\displaystyle B(3,9)$ și $\displaystyle C(a,a^2)$, unde $\displaystyle a$ este număr natural. Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle ABC$ este triunghi și are aria mai mică decât $\displaystyle 3$.

a) Arătați că $\displaystyle D(-2)=16$.

b) Demonstrați că $\displaystyle D(x)=x(x+1)(6-x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(\sqrt{a})=0$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(1-x)=2A\left(\frac{1}{2}\right)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(1-x)=A\left(\frac{1}{2}\right)$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)+A(0))=8$.

c) Știind că $\displaystyle \det(m A(n)+n A(m))=\det(m n A(1))+\det(n m A(1))+18$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$, $\displaystyle n$, determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, $\displaystyle m<n$.

a) Arătați că $\displaystyle 5A - 3B = \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 2 & 16 \end{pmatrix}$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle B$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle xA \cdot A - 8A = yI_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0)) = 3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle m=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2 = (x_0+z_0)^2$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=-5$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinaţi soluţiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1)) = 2$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n-1,0) + A(n+1,0) = A(2018,0)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că există un număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x,1) \cdot A(x,1) = A(a,-2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle R=A(\log_2 3) \cdot A(\log_3 4) \cdot A(\log_4 5) \cdot \ldots \cdot A(\log_{15} 16)$ are toate elementele numere întregi.