Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & x \\ 4 & 9 & x^2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(0)-A(1)$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=(x-2)(x-3)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))\le\det(A(0))$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 2 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2017+x) + A(2017-x) = 2A(2017)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(2) + mA(1)) = 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} x & y & 1 \\ 1 & x & y \\ y & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2,3)) = 12$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(n,n^2)) \ge 0$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care inversa matricei $\displaystyle B = A(x,0) \cdot A(x,0)$ este matricea $\displaystyle A(x,0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = xA + yI_3$.

c) Determinați inversa matricei $\displaystyle B = A + I_3$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ m & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) + A(-m) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(5)$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(m) = \begin{pmatrix} 2m & 1 & 1 \\ 1 & 2m & 1 \\ 1 & 1 & 2m \end{pmatrix}$ şi sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2mx+y+z=0 \\ x+2my+z=0 \\ x+y+2mz=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle m$, ştiind că $\displaystyle \det(M(m))=0$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, demonstrați că, dacă $\displaystyle (a,b,c)$ este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele $\displaystyle a, b$ şi $\displaystyle c$ este întreg.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & x \\ -1 & x-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-7$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(y)-A(x)=(y-x)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle (A(a-1)+A(a))A(0)=(A^2(a)+7)I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 16$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B = xI_2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det \left( A + \frac{1}{x} B \right) \ge 49$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

Se consideră matricea $\displaystyle X(a) = \begin{pmatrix} a & 5 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(1))=-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(-a)+X(a)=X(2018)+X(-2018)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați perechile de numere reale $\displaystyle (a,b)$ pentru care $\displaystyle X(a)X(b)=X(a)X(b)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Calculați produsul $\displaystyle A \cdot B$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle A \times X = B$, unde $\displaystyle X eq 0$.

Notă: În subiectul dat, litera 'x' apare în enunțul subpunctului b) ca factor pentru matricea B, dar nu este folosită în calculul din barem. Vom presupune că 'x' din enunțul subiectului este o eroare de tipar și vom proceda conform baremului, unde se calculează $\displaystyle A \times B$ direct.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x-2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{x-2} \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(1)A(2)A(3)...A(10) = A(m^2+m+17)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} a-2 & 4 \\ a+1 & a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Determinați matricea $\displaystyle A-6I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați polinomul $\displaystyle f(x) = x^3 + MX-6$ unde $\displaystyle M$ este număr real.

Se consideră polinomul $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x-6$, cu rădăcinile reale $\displaystyle x_1, x_2, x_3$.

a) Determinați $\displaystyle x_1, x_2, x_3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2 = -2m$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle f(x+1) = (x+p)(x+q)X + q$ cu $\displaystyle p=-1, q=-6$.