a) Arătați că $\displaystyle \det A = -8$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 2A = 8I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A \cdot B - B \cdot A) \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)) = \det(A(x+1)) = 12$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-2))=-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=A(2017)+A(-2017)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, pentru care $\displaystyle A(0) \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -13$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B - xI_2) = 0$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = x y I_3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle \det(A(n)A(n) + A(n) + I_3)$ este pătratul unui număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)) = (2^x-1)(2^x-x-x\cdot 2^x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că $\displaystyle A(1) + A(2) + A(3) + \dots + A(2017) = \begin{pmatrix} 2017 & 2017 & 2017 \\ 2017 & 2(2^{2017}-1) & \frac{4(4^{2017}-1)}{3} \\ 2017 & 2017 \cdot 1009 & 2017 \cdot 2018 \end{pmatrix}$.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A(0)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle A(x) + A(2x) = 2A(2)$.

c) Punctele $\displaystyle M(n,n+1)$, $\displaystyle N(2,n)$ și $\displaystyle P(3,0)$ sunt coliniare.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(B-A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -12 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle A \cdot X = B$.

a) Arătați că $\displaystyle \Delta(0,2)=-2$.

b) Arătați că $\displaystyle \Delta(x,y)=(x-1)(y-1)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle \Delta(m,n)$ este divizibil cu $\displaystyle 2$, pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(3))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)) - \det(A(y)) = \det(A(xy)) - \det(A(x)) \det(A(y))$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(1)) + \det(A(2)) + \dots + \det(A(n)) = n(n+1)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle D(0)=-12$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(a)=a^2$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,1)$, $\displaystyle B(n+1,n)$, unde $\displaystyle n$ este număr natural și $\displaystyle C(1,3)$. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, știind că punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt vârfurile unui triunghi care are aria egală cu $\displaystyle 1$.

a) Arătați că $\displaystyle A(0)+A(2)=2A(1)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle (A(x)-xI_2)(A(x)+xI_2)=O_2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle B=I_2+aA(1)$ este inversabilă, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.