a) Calculați $\displaystyle \det(M(0))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle 2M(x) - M(-x) = M(3x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle O(0,0)$, $\displaystyle A(n, 2n-1)$ și $\displaystyle B(n^2, 2n^2-1)$, unde $\displaystyle n$ este număr natural, $\displaystyle n \geq 2$. Demonstrați că aria triunghiului $\displaystyle OAB$ este număr natural.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Arătați că $\displaystyle (A-I_3)(A-I_3)(A-I_3) = O_3$, unde $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle AX = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)+B(x)) = \det(B(x))$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ și $\displaystyle p$, știind că $\displaystyle A(n)B(p)=B(3)$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=2A(1)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Arătați că $\displaystyle 9(A+B) - (A \cdot B + B \cdot A) = 45I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle \det(A+xI_2)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(9))=0$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale nenule, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0=1$, dacă și numai dacă $\displaystyle a=7$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = xyI_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(3^a)A(3^{a+1}) = A(27)$.

a) Arătați că $\displaystyle A \times B = A$.

b) Determinați matricea $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle A \times B = A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle B \times A = A$ . d) Determinați matricea $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle A \times B - B \times A = O_2$.