Se consideră determinantul $\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & 4 \\ 2 & x-1 & 7-x \\ 1 & -2 & x^2 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle D(1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x) = -(x-1)(x+1)(x+2)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle D(2^x - 3) = 0$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(m)=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ m & 1 & -1 \\ 2 & 3 & m \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle D(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(m)=(m+2)(m+3)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle D(n^2-3n)=0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 0 & x & -1 \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(-1)=2A(0)$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(x)+I_3)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)-A(-a)+I_3-A(-1))=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle a$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2,0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x,a) + A(x,-a) = 2x A(1,0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle a$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(x,-3)) = 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A \cdot A = xA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A + aI_2) = 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, ştiind că $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(x^2+2)$.

c) Știind că $\displaystyle A(n)=A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) \cdot \dots \cdot A(2016)$, demonstrați că $\displaystyle n$ este număr natural divizibil cu $\displaystyle 2017$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & x \\ y & 0 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(2A) = -28$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle A+2B=I_2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Dacă $\displaystyle AB=BA$, arătați că $\displaystyle \det B=0$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 1 \ 0 & 0\end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Verificați dacă $\displaystyle A\cdot(A+I_2)=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0 \ 0 & 0\end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(B)=0$, unde $\displaystyle B=A\cdot A+mI_2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=2A(1)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -a & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+a^2z=0 \\ x-y+z=2 \\ x-ay+z=4 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=-1$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a \ne -1$ și $\displaystyle a \ne \frac{1}{3}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, iar $\displaystyle x_0+y_0+z_0=2$.