Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & m \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + 3y + 4z = 0 \\ 3x + 4y + mz = 0 \end{cases}$ un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(m)) = 5-m$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați soluțiile reale ale sistemului pentru $\displaystyle m=5$.

c) Demonstrați că $\displaystyle A^n(5) = I_3$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle A^2 = 2A - I_2$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A$ este inversabilă și aflați inversa sa.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle AX = B$.

Se consideră matricele $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -c & e \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^x \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = \frac{1}{e}$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle Y \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle A(1) \cdot Y = B$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle A(x) \cdot A(0) = 2A(x-1)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=0$.

c) Dacă $\displaystyle B=A(1)-A(2)A(3)$, demonstrați că $\displaystyle \det(B)=0$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A) = -6$.

b) Arătați că $\displaystyle A^{2}-4A = 6I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle \det\left(A-xI_2\right) = -1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2025^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \mathrm{det}(A(1)) = 2025$.

b) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, $\displaystyle m < n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(mn+4)$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă și $\displaystyle A^{-1}(x) = A(-x)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & a \\ 1 & 9 & a^2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 3y + az = 1 \\ x + 9y + a^2z = 1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Să se arate că $\displaystyle \det(A(2)) = -2$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a \in \mathbb{R} \setminus \{1; 3\}$, rezolvați sistemul de ecuații.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & x-2 \\ x+1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle B(3)-B(0) = 3A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot A = B(1)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ a & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}, a \in R$ și sistemul $\displaystyle (S): \begin{cases} 2x - 2y + z = 1 \\ ax + 2y - z = 0 \\ x + 2y + 2z = 1 \end{cases}$

a) Calculați $\displaystyle \det(A(-8))$.

b) Să se determine $\displaystyle a \in R$ astfel încât matricea $\displaystyle A$ să fie inversabilă în $\displaystyle M_3(R)$.

c) Să se arate că oricare ar fi $\displaystyle a \in R$ sistemul $\displaystyle (S)$ nu admite o soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0 \in Z$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1+4x & 0 & 8x \\ 0 & 1 & 0 \\ -3x & 0 & 1-6x \end{pmatrix}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \det \left(A\left(\frac{1}{2}\right)\right)$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle A(x) \cdot A(y)=A(x+y-2xy)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinaţi $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle A^2(a)=I_3$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 5-a & 10 \\ -2 & -a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(a) = A(0)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle A(-1) \cdot X = A(0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A^2 = x \cdot A + 2024 \cdot I_2$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle B(1) + B(2) + B(3) + \dots + B(23) = n \cdot B(12)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 2x & 6x \\ 0 & -x & 1 + 3x \end{pmatrix}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Să se calculeze $\displaystyle detA(-2)$.

b) Să se arate că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+xy)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Să se determine $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, $\displaystyle x \ne -1$, pentru care $\displaystyle (A(x))^{-1} = A(-2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ şi $\displaystyle X(a) = I_2 + aA$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{Z}$.

a) Calculaţi $\displaystyle A^2 - 3A$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+3ab)$, oricare ar fi $\displaystyle a, b \in \mathbb{Z}$.

c) Arătaţi că $\displaystyle X(a)$ este matrice inversabilă pentru orice $\displaystyle a \in \mathbb{Z}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & m \\ 1 & -m & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m=2$, verificați egalitatea $\displaystyle A\cdot(A^2+6I_3)=O_3$.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle B=I_3+xA$ este inversabilă, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ și pentru orice $\displaystyle m\in\mathbb{R}$.