a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = 3$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x) \cdot A(-x)) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=3$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A(3) - A(5) = A(1)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) \ge 2a^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A) = a^2-3a+2$.

b) Aflați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ în cazul în care sistemul este compatibil determinat.

c) Să se arate că pentru orice $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ sistemul este compatibil.

a) Calculați $\displaystyle \det A$ și $\displaystyle \det(A^3)$.

b) Să se afle $\displaystyle A^n$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

c) Să se determine matricea $\displaystyle X$, cu elemente numere reale, astfel încât $\displaystyle (A + I_3)X = O_{3,1}$.

a) Rezolvați sistemul pentru $\displaystyle a=0$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Să se demonstreze că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b+ab)$, oricare ar fi $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ știind că $\displaystyle A^2(a) = A^T(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m)$ este inversabilă dacă și numai dacă $\displaystyle m \ne 0$.

c) Pentru $\displaystyle m \ne 0$, demonstrați că singura soluție a sistemului de ecuații este $\displaystyle x=1, y=2$ și $\displaystyle z=3$.

a) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ astfel încât sistemul să admită soluția $\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det A \ge 0$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$, pentru care sistemul admite o soluție unică cu componentele numere naturale.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(-2))$.

b) Determinați valoarea parametrului real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) = 3$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle A(1) \cdot X = A(4)$, $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$.

a) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A$ este inversabilă.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle AX = \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}$ nu are soluții reale, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in M_{2,1}(\mathbb{R})$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, fie $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ o soluție reală a sistemului. Să se determine valoarea maximă a expresiei $\displaystyle x_0 \cdot y_0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+xy)$, $\displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle A(2^x) \cdot A(-2^{-x}) = A(3)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(-2)\cdot A(2)=aI_2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)+xI_2)\geq 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.