a) Arătați că $\displaystyle \det(B(1))=7$.

b) Arătați că $\displaystyle B(2)-B(0)\cdot B(1)=4A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(a)-aA)=0$.

a) Calculați $\displaystyle D(1,-1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x,y) = (x-2)(y-2)(y-x)$, $\displaystyle \forall x,y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle D(2^x, 4^x) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A-A \cdot A=I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x,y$ și $\displaystyle z$, pentru care $\displaystyle A \begin{pmatrix} x-2 \\ x+1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} = O_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4)-I_2)=-8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că are loc egalitatea $\displaystyle A(x) \cdot A(2)-(x+2)A(x)=I_2$.

c) Calculați $\displaystyle A(1)+A(2)+A(3)+\dots+A(9)$.

a) Calculați $\displaystyle D(2,-1)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle D(x,y)=(x-3)(y-3)(y-x)$, $\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}$.

c) Aflați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care punctele $\displaystyle A(a,a^2+1)$, $\displaystyle B(1,2)$ și $\displaystyle C(3,10)$ sunt coliniare.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(5))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=5$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = \frac{1}{e}$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle Y\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle A(1)\cdot Y=B$.

a) Arătați că $\displaystyle M \cdot N = N \cdot M$.

b) Verificați dacă $\displaystyle \det N - \det M < \det(M-N)$.

c) Determinați numărul matricelor $\displaystyle P = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix}$ pentru care $\displaystyle P^2 = M$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-17$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=2\cdot A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A\left(3^x\right)\cdot A\left(3^x\right)=17\cdot I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-2)) = \frac{1}{25}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ din egalitatea $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(4-x)$.

c) Știind că $\displaystyle A(n) = A(1) \cdot A(2) \cdot \ldots \cdot A(2025)$, demonstrați că $\displaystyle n$ este număr natural impar.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B = I_2$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle 3^m + \det(A \cdot B + nI_2) = -19$.