a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(-1) \cdot B(-1)+3A=4B(a)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X \cdot (A-2I_2)=B(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B(1) = 3$.

b) Arătați că nu există $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle B(a) \cdot B(a) = 8I_2 - A$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A \cdot B(a) - B(a) \cdot A) \le 0$, oricare ar fi $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A - 3C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle 5X - B = 3C$.

a) Să se verifice dacă $\displaystyle \det(A(2)) = 3$.

b) Să se determine $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ care verifică relația $\displaystyle 2X + A(2) = 2A(1)$.

c) Să se determine $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\displaystyle A^2(x)$ are toate elementele egale între ele.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(-x-y+2xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x,y$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care inversa matricei $\displaystyle A(m)$ are elementele numere întregi.

a) Să se calculeze $\displaystyle \det A$.

b) Să se demonstreze că $\displaystyle A^2 = 2I_2 - A$, unde $\displaystyle A^2 = A \cdot A$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Să se determine matricele $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, $\displaystyle X \ne O_2 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, astfel încât $\displaystyle \det(X+A)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=-3$.

b) Verificați dacă $\displaystyle A \cdot A - 2A = 3I_2$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2A(1)-A(-1)=A(3)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care are loc egalitatea: $\displaystyle A(x)+y \cdot I_3 = 2 \cdot (A(1)-I_3)$.

c) Arătați că rangul matricei $\displaystyle A(n)$ este egal cu $\displaystyle 3$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+5xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle A(n) \cdot A(n-2) = A(2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A + I_2) = 4$.

b) Aflați numărul natural $\displaystyle n$ din egalitatea $\displaystyle \det(B(n) - n \cdot A) = \det B(2) - 2n$.

c) Determinați matricea $\displaystyle M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A^2 \cdot M = I_2 - A$, unde $\displaystyle A^2$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(3)) = -4$.

b) Arătați că $\displaystyle M(4) + 3M(0) = 4M(1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(0) = M(2)$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ astfel încât sistemul să aibă soluție unică.

b) Dacă $\displaystyle a\neq 2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Dacă $\displaystyle a=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului, având componentele întregi, pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=6$.