Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 9$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că $\displaystyle A(-a) \cdot A(a) = 9I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați perechile de numere naturale nenule $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = 3A(3)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 4-x & 1 & 4 \\ 1 & 2-x & 2 \\ 2 & 4 & 1-x \end{pmatrix}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -21$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \text{rang}(A(x)) = 3$.

c) Rezolvați ecuația $\displaystyle \det(A(\lg x)) = 0$, $\displaystyle x > 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A - aI_2) \ge 1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este un număr real.

a) Determinați $\displaystyle \det(A(10))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$, ştiind că $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(x^2 + 2)$.

c) Știind că $\displaystyle A(n) = A(1) \cdot A(2) \cdot \ldots \cdot A(2022)$, demonstrați că $\displaystyle n$ este număr natural divizibil cu $\displaystyle 2023$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & m+1 & (m+1)^2 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele necoliniare $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(m, m^2)$ și $\displaystyle C(m+1, (m+1)^2)$, unde $\displaystyle m$ este un număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle m$, știind că triunghiul $\displaystyle ABC$ are aria egală cu 1.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & m+1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(m)) \neq 0$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle (xOy)$ considerăm punctele necoliniare $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(m,m^2)$, $\displaystyle C(m+1, (m+1)^2)$, unde $\displaystyle m \in \mathbb{R}$. Determinați valorile lui $\displaystyle m$, știind că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & a+2 & a+3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = 8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(1) = A(1) \cdot A(a)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$;

b) Să se demonstreze că matricea $\displaystyle A$ verifică relația: $\displaystyle A^2 - 2A + I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$;

c) Să se afle matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ știind că $\displaystyle A \cdot X = B$.

Considerăm sistemul de ecuații: $\displaystyle \begin{cases} x-2y+z=0 \\ ax+y-2z=1 \\ -x+3y+z=b \end{cases}$ a, b $\displaystyle \in \mathbb{R}$ și matricea sa $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & -2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=5a+4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a,b$ pentru care tripletul $\displaystyle (1,0,-1)$ este soluție a sistemului;

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a,b$ astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ m & 1 & 1 \\ -1 & m & 2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+y+z=8 \\ mx+y+z=11 \\ -x+my+2z=7 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Determinați cel mai mic număr întreg $\displaystyle m$ pentru care suma elementelor matricei $\displaystyle A(m)$ este un număr natural nenul.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)-A(2)) = 0$.

c) Pentru $\displaystyle m=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ a sistemului de ecuații, știind că $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ formează o progresie geometrică.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x-2024 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este un număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)-2A(x)-2A(y)=A(2024)$, pentru orice $\displaystyle x, y$ numere reale.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ știind că $\displaystyle A(m)A(n)=A(-2022)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \\ m & 1 & -2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+2y-3z=3 \\ 2x+y-z=m \\ mx+y-2z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Pentru $\displaystyle m=2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Pentru $\displaystyle m=3$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului de ecuații, astfel încât $\displaystyle x_0+y_0z_0=4$ și $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ sunt numere întregi.

Se consideră matricele $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}$, $\displaystyle m\in\mathbb{R}$, și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$.

a) Rezolvați ecuația $\displaystyle \det(A(m))=0$, $\displaystyle m\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle A^{-1}(-1)=\frac{1}{2}A(0)$.

c) Determinați $\displaystyle X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A(-1)\cdot X=B$.

Fie matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+3x & 0 & 6x \\ 0 & 1 & 0 \\ -x & 0 & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \text{rang } A(x) = 3$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (x,a)$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(a) = A(a) \cdot A(x) = A(-4)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & -4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A - 4A = 5I_2$.

c) Determinați valorile naturale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A \cdot B(x)) < 10$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & a & 4 \end{pmatrix}$, și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y+az=2 \\ 2x+ay+4z=3 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(3-a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=0$ demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi.