Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ -a & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Arătați că $\displaystyle A(a)A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Calculați produsul de matrice $\displaystyle A B$.

c) Calculați produsul de matrice $\displaystyle B A$ și verificați dacă $\displaystyle A B = B A$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(0)=2A(0)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Rezolvați în mulțimea $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3.$

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot A=xA.$

c) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_2)+\det(A-I_2)=2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1-x & 0 & 2x \ 0 & 1 & 0 \ -x & 0 & 1+2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x)A(x)=A(7)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 3 \\ a-1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(2014) + A(2016) = 2A(2015)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) = 0$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(2) + xA(3)) = 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle M \cdot M + 3M + 4I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ astfel încât $\displaystyle M \cdot M \cdot M = aM + bI_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a+1 \\ 0 & 1 & a+2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, ştiind că $\displaystyle A^2(a)-2A(a)+I_3=O_3$, unde $\displaystyle A^2(a)=A(a)A(a)$.

c) Arătați că $\displaystyle A(2)+A(4)+A(6)+...+A(100)=50A(51)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 2 & x \\ x & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(1)+A(3)=aA(2)$.

c) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=2A(x+y)+xyI_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Arătați că $\displaystyle \det (A+C(-1)) = \det B$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle C(x) \cdot A - A \cdot C(x) = B$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & 0 & x \\ 0 & x & 0 \\ x & 0 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(x) - B(x) = B(x^2 + x - 2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(B(x)+I_2)=8$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x)=B(x) \cdot A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \ 5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A\cdot A+I_2=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A-aI_2)\geq 1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 1 & y & \frac{1}{y} \\ 1 & x & \frac{1}{x} \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale nenule.

a) Arătați că $\displaystyle D\left(2, \frac{1}{2}\right) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x,y) = -\frac{1}{xy}(2x-1)(2y-1)(x-y)$, pentru orice numere reale nenule $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle D(\log_2 x, 2) = 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 2 & 1 \\ a & 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle 2A(1)-A(-1)=A(3)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A(a) + bI_3 = 2(A(1)-I_3)(A(1)-I_3)$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle A(n)$ este inversabilă pentru orice număr natural $\displaystyle n$.