a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(1)) = 2$.

b) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, cu $\displaystyle z_0=nx_0$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2.$

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot (6I_2 - A(-2))=xI_2.$

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot X = A(1)-I_2.$

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A(1)+A(4)=3A(2)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(-x)\cdot A(x)=A(y)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(a)=(2a-1)A(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B(n)=A(n)+nI_3$, unde $\displaystyle n$ este număr natural. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot B(n)=2n^2 A(n)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A(1) + A(7) = 3A(3)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot (2x+1)I_2 = A(2y) - yI_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b)=A(a+b-3ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(a)=A(5)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=6$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(-2)\cdot A(-1)-4I_2=A(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det\left(A(x)+A\left(\frac{1}{x}\right)-2I_2\right)\ge 8$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $\displaystyle a=1$. Pentru $\displaystyle a=2$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului de ecuații liniare pentru care $\displaystyle x_0y_0z_0=y_1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a) + A(b) - A(a)A(b)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle 2A(2a) - A(1) - A(a) \cdot A(1) = 2A(1) - 2A(1) + 2A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(4)) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle M(1) \cdot M(1) - M(1) = 3I_2$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle N = \det(M(n) - 3M(1)^{-1})$ este natural impar, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, unde $\displaystyle (M(1))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle M(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = i$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Calculați $\displaystyle A(0) \cdot A(0) \cdot A(0) \cdot ... \cdot A(0)$, de 2022 ori.

a) Arătați că $\displaystyle A(1, 1)^2 = 6A(1, 1)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x, y)) = (x-1)(y-1)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Aflați perechile de numere naturale $\displaystyle (m, n)$ pentru care ecuația matriceală $\displaystyle A(2^m, 3^n) X = 2I_3$ are soluție unică.