Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1-x & 3x \\ -x & 1+4x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=3$.

b) Arătați că $\displaystyle xA(y)-yA(x)=(x-y)I_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1) = xA(x)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A\left(x\right) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -x & -2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(A\left(5\right)\right) = 21$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A\left(-1\right) + A\left(5\right) = 3A\left(1\right)$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det\left(A\left(x\right) - A\left(-x\right)\right) - x^2 \ge 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 2x & 3x & -3 \\ -x & -2x & 1 \\ 0 & 0 & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0)) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle M(x) \cdot M(y) - xyI_3 = (x+y+1)M(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot M(-1) - M(2) \cdot M\left(-\frac{1}{2}\right) = 2M(0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2+x & x \\ -x & 2-x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2) \cdot A(-2)=16I_2$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle B(m)=\frac{1}{m}A(-m)$ este inversa matricei $\displaystyle A(m)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -1 & 2x \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

b) Arătați că $\displaystyle A + 3I_2 = 2B(1)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det (B(2x) - B(x) \cdot A) = x^2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y-z = 1 \\ 3x+y-2z = 1 \\ x-3y+z = -3 \end{cases}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_1, y_1, z_1)$, $\displaystyle (x_2, y_2, z_2)$ ale sistemului de ecuații pentru care $\displaystyle y_1=x_2$ și $\displaystyle z_1=y_2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(-1) \cdot A(1) = A(0)$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle A(-1) \cdot A(m) = A(n)$.

Se consideră matricea $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 3a \\ 2a & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1)+2I_2=xA(1)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X \cdot A(2) = A(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2 \ 1 & 1 & -a \ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=3 \ x+y-z=5 \ x-y-z=1 \end{cases}$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=2$, arătați că $\displaystyle x_0y_0+y_0z_0=0$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ numere reale.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x-1 & 1 \\ 1 & x-5 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(6)) = 10$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(3) \cdot A(3) = aI_2$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle N = \det(A(m) \cdot A(2) - A(m-1))$ este natural, pentru orice număr întreg $\displaystyle m$.