Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(3)+A(5)=2A(4)$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(n)+I_2)\geq 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)= \begin{pmatrix} 1 & -1 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))= -1$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)\cdot A(-x)-I_3) \le 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$, $\displaystyle B= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X\cdot (A(0))^{-1} = B\cdot A(0)$, unde $\displaystyle (A(0))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 3x-3 \\ 1 & x-3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot A(0)+A(5)=mI_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det((A(x)-A(0))\cdot A(1-x))=3$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(2))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(3)+2A(1)=3A(2)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(x^2)=I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A - B(x) \cdot A = xI_3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Pentru fiecare număr real $\displaystyle x$ se consideră matricea $\displaystyle C(x)$ astfel încât $\displaystyle A \cdot C(x) = B(x)$. Arătați că $\displaystyle C(x) - C(-x) = y \cdot A$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2-2a & 2-a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(2) \cdot A = xM(1)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (M(a)-2I_2) \cdot M(a) = (a+2)I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2)+A(6)=2A(4)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(x)=A(x)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2-3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2+3x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=8$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = 2A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (A(x)+A(3x)) \cdot A(2x)=4A(x^2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle B = \frac{1}{2}(I_2-A)$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(-I_2) \cdot X = 2A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3A-5I_2 = xB$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(B-A)+xI_2) \le 2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay-2z=4 \\ y+z=1 \\ 2x+4y+z=4 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 3$.

b) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ a sistemului de ecuații verifică inegalitatea $\displaystyle y_0 z_0 \ge 1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(3)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot A(n+1) = A(42)$.