Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & -2x \\ x & -e^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(6))=12$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(4) \cdot A(4)=a A(4)$.

c) Determinaţi perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle \det(A(m)+A(n))=0$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=2$.

b) Arătați că $\displaystyle B+3I_{2}=2A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A\cdot(x A+B)=2I_{2}$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1))=7$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(2) = M(x-1)$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(M(n)) \le \det(M(2n))$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ a-3 & 4a-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(B(1)\right) = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle B(2)-B(0) \cdot B(1) = 4A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle C(a) = B(a)-aA$ nu este inversabilă.

Se consideră matricele $\displaystyle I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ și $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}x & x-1 \\ -2x & 2\end{array}\right)$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2)+A(0)=2A(1)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)+xI_{2})=2$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x-2 & 2-x \\ x-4 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(5))=12$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (B(4)-B(2)) \cdot A = aA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A \cdot B(x) - 4I_2)=0$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle B(x) \cdot B(-x) = (x^2+1)A$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x)B(-x) - B(2x)B(-1) = xA$.

Se consideră matricile $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & x-3 \\ x-3 & x-4 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(4) \cdot B(4)+I_2 = aB(4)$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2x+1 & 1 \\ x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(5)=2A(3)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot A(1) = A(3)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ şi $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x-1 & 2 \\ 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(2))=0$.

b) Arătaţi că $\displaystyle A(3)+2I_2=A(5)$.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)+xI_2)=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & x \\ 0 & x-1 & x-1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(1)=2A(x)$.

c) Arătați că, dacă matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă, atunci și matricea $\displaystyle A(-x)$ este inversabilă.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x+1 & x+4 \\ 2x & 4x-3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x)-xA)=x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x)+B(x+2)=2A \cdot A$.