Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3+a & 2-2a \\ 1-a & 1+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(0)(A(a) - A(0)) = aI_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a^2) - A(a)) \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2B - A = 3C$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2 (\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle 2X \cdot A = B + 2C$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ -1 & -x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = (x+y-2)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(-1) \cdot A(3) = A(x) \cdot A(y)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x+1 & 2x+1 \\ x-1 & 2x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(2))=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(0)B(1)=aA$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x)=A \cdot (B(0)-3I_2)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ -x & 2 - x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle 3A(2) + A(6) = 4A(3)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(x) = 2A(x)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & 0 \\ x-1 & 2 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle B(8) - 3B(2) = 2A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a-1 & 2a & -1 \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax-y+2az=0 \\ x-2y+az=0 \\ x+y+(1-a)z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1-a & a \\ -3a & 3a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \operatorname{det}(A(2))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) - I_2 = a(A(1)-I_2)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(2m) = A(1)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=9$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a)+A(-a)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) \cdot A(-1)-aI_2)=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+z=2 \\ ax+2y+z=2 \\ 2x+2y+z=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi și $\displaystyle x_0 > y_0 > z_0$.

Se consideră matricea $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ x & -1 & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(x) = A(0)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle (A(1))^{-1}=aA(1)+bI_3$, unde $\displaystyle (A(1))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(1)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & -2 \ 2 & x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(0)=A(x)$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\displaystyle \det(A(x))=\det(A(y))$, atunci $\displaystyle x+y=1$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & -1 & a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) - A(a) - A(b) + I_3$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot X \cdot A(0) = I_3$.