Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x & 0 \ 1 & 1-x & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle (A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(x)=xA(x)-(x-1)I_3$.

Se consideră matricele $\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle M(x)\cdot M(1)=M(4x+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x)\cdot M(1)=M(1)\cdot M(x)$.

Se consideră matricile $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2-x & x \\ x & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A - B(2) = 2B(0)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x) - B(1) - (x+1)A) = 1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & a \\ 2 & 1 & -1 \\ a & 3 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+3y+az = 1 \\ 2x+y-z = 1 \\ ax+3y+z = 1 \end{cases}$ unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A^2(a)$ este matricea nulă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0 \leq 0$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ numere reale.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = xI_2 + A$, unde $\displaystyle x$ este număr real și $\displaystyle x^2 = -1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(3) \cdot B(5) = B(x)$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$ de numere întregi pentru care matricea $\displaystyle B(m) + B(n)$ nu este inversabilă.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle 2A(4)+A(-2)=aA(2)$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle X \cdot A(1) = A(0)$, unde $\displaystyle m$ este număr întreg, atunci matricea $\displaystyle X$ are toate elementele numere întregi.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ a+2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (3x+ay-2z=b \\ 2x+y-z=1 \\ (a+2)x-2y+z=-1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & 1 \ 1 & 1 & -1 \ 2 & -a & 4 \end{pmatrix}$ şi sistemul de ecuaţii $\displaystyle \begin{cases} ax+y+z=4 \ x+ay-z=4 \ 2x-ay+4z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(1))=-9$.

b) Determinaţi mulţimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluţie unică.

c) Arătaţi că, dacă sistemul are soluţia unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0=2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x+1 & -3 \\ 2 & x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 9$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(3) - B(4) = xB(1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle B(a)$ este inversa matricei $\displaystyle C = \frac{1}{9} A$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a \\ a & a+1 & -2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+y+2z=2 \\ x-y+az=4 \\ ax+(a+1)y-2z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=8$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, arătați că $\displaystyle x_0y_0+z_0=-2$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații.