a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ astfel încât $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x + y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(3)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(z_1) \cdot A(z_2) = A(z_1z_2)$, pentru orice numere complexe $\displaystyle z_1$ și $\displaystyle z_2$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1+i) \cdot A(2+i) \cdot A(3-i) \cdot A(2-i) \cdot A(3-i) = nI_3$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = 3$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot X - A(1) = A(2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A \cdot A + A = 2B(a)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(a) \cdot A + B(a)) = 4$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot A(n+1) \cdot A(n+2) \cdot A(n+3)=A(2n^2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle B(0) - B(x) = xA$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle C(a)=B(a) \cdot B(1) - B(a+1)$ este inversabilă, pentru orice număr întreg $\displaystyle a$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle A+2B=3C$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B \cdot C + x(A-C)) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(-1) = 2I_3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1) = A(x) + 3A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=3$.

b) Arătați că $\displaystyle A(-1) \cdot A(2) - A(-1)=2I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) + xA(x) = 3I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Arătați că $\displaystyle A - 4I_2 = 3B$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X+X \cdot B = A$.