a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 3A = I_2$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot X - X \cdot A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(0))=8$.

b) Determinați matricea $\displaystyle B \in M_3(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle AB=A(a)-2I_3$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \text{det}(A(n)-A(-n)) \ge 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(2)-A(1) \cdot A(2)=I_2$.

c) Se consideră numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, astfel încât $\displaystyle A(m) \cdot A(n)=A(m+n)$. Arătați că $\displaystyle m=n=1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A+B=3A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A \cdot X - B = X - I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(0)) = -1$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, astfel încât $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(c)$. Demonstrați că $\displaystyle a^2 + b^2 + 2c = 3$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 10$.

b) Arătați că $\displaystyle 2B(5) + B(-1) = 3B(3)$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A - B(x)) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0, +\infty)$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0, +\infty)$, $\displaystyle \det(A(a) + A(a^{-1})) \ge 8$, unde $\displaystyle (A(a))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(a)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1))=0$.

b) Demonstrați că, dacă matricea $\displaystyle A(x,y)$ este inversabilă, atunci $\displaystyle x \neq |y|$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, pentru care $\displaystyle A(m,n) \cdot A(m,-n)=I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle 3B(2)+B(6) = 4B(3)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \left(B(-x)-B(x)\right) \cdot \left(B(-x)+B(x)\right) = A+B(3)$.