Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & a-2 \\ b+1 & b-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,0))=-1$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in(-\infty,0)$ și $\displaystyle b\in(0,+\infty)$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b)$ este inversabilă.

c) Determinați matricea $\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1,3) \cdot X = A(2,1)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & -a & 1 \\ 2 & a & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 3x+y-z=1 \\ x-ay+z=3 \\ 2x+ay-z=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -3$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle B(a) = A(a) \cdot A(a)$ are două elemente egale cu $\displaystyle 0$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că sistemul de ecuații nu are soluții.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 4 & 1 & m \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 4x+y+mz = 9 \\ x+2y-z = 4 \\ -2x-3y = -7 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(m)) = m-10$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați inversa matricei $\displaystyle A(9)$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m \ne 10$, dacă $\displaystyle (a,b,c)$ este soluția sistemului de ecuații, atunci $\displaystyle \log_2 a + b + c = 2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a,b) = aA+bI_2$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a,b) \u00B7 M(x,y) = M(ax+by, ay+bx)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, x$ și $\displaystyle y$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale pentru care matricele $\displaystyle B = M(x,2y)$ și $\displaystyle C = M(y,2x)$ sunt egale, atunci $\displaystyle x^2+y^2=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \sqrt{a} \\ 1 & 0 & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) \cdot A(1) - A(a) \cdot \det(A(1))$ este matricea nulă, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle B(n) = A(1^2)+A(2^2)+A(3^2)+...+A(n^2)$ este inversabilă, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \ 2 & 4 & -a \ 1 & a & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax+2y+z = 1 \ 2x+4y-az = 1 \ x+ay-z = 0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ astfel încât $\displaystyle x_0 = \frac{z_0}{2} = \frac{2}{3}$.