a) Arătați că $\displaystyle \det(A - A^2) = a^2b^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

b) Se consideră matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle t$ astfel încât $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix}$.

c) Pentru $\displaystyle a=4$ și $\displaystyle b=0$, determinați matricele $\displaystyle Y \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle Y \cdot Y = A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(-a) = (2-a^2)I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle A(1) \cdot X = A(2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) = (a-1)(a-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere naturale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=5$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ astfel încât $\displaystyle A(-3)+A(-2)+A(-1)+A(0)+A(1)+A(2)+A(3)=nA(0)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}$.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Calculați produsul $\displaystyle B \cdot A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle det(B+nA) = det(B+n A^T)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(c)$, atunci $\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)=1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a)A(1)=A(1)A(a)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ are rangul doi.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_3)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A \cdot A = O_3$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$, atunci există numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$, astfel încât $\displaystyle X = aI_3+bA+cA \cdot A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=6$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle (x+1)A \cdot B + (y-2)B \cdot A = B \cdot B$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(m)+A(-m))=8$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care are loc egalitatea $\displaystyle A(m) \cdot A(m) = A(0)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle A(1) - A(2) + A(3) - A(4) + \dots + A(2n-1) - A(2n) = n(A(-1) - A(0))$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, rangul matricei $\displaystyle M(m)$ este cel puțin egal cu $\displaystyle 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \ne 1$, știind că inversa matricei $\displaystyle M(m)$ este matricea $\displaystyle A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(A(2)\right) = 4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații nu este compatibil determinat.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluția unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ și $\displaystyle x_0$ este număr întreg.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = 10$.

b) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A(a)$ pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a e 2$, rangul matricei $\displaystyle A(n)$ este egal cu 3.

c) Arătați că, pentru orice număr natural $\displaystyle m, m e 2$, rangul matricei $\displaystyle A(m)$ nu are toate elementele numerice întregi dacă $\displaystyle m e -1$ sau $\displaystyle m e 2$, rangul matricei $\displaystyle A(m)$ nu are toate elementele numerice întregi. d) Pe mulțimea $\displaystyle M = (2,+\infty)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in M$.