Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = B+xI_2$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Arătați că $\displaystyle A\cdot M(x) = M(x)\cdot A$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A\cdot A - 3(A+M(x)) = I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle B \cdot B + A = O_2$.

c) Determinați $\displaystyle x, y \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle A \cdot B + B \cdot A - (A+B) = \begin{pmatrix} \log_2 x & 0 \\ 0 & \log_3 y \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x-1 & 1 \ x-1 & -1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(1))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A\cdot A-2A=I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A\cdot B(x)=I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -3$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + 3A + 4I_2 = O_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ astfel încât $\displaystyle A \cdot A = xA + yI_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ şi $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \det (A+M(-1)) = \det B$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot A - A \cdot M(x) = B$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = xA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det (A+aI_2) + \det (A-I_2) = \det (aI_2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x(A+B)=C$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A \cdot B - B \cdot A = 2X + C$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = A - xI_2$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(0)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(B(x)) \ge 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 4 & a & 1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax+2y+z=4 \\ 4x+ay+z=6 \\ x-y+az=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ are rangul 2.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & 2b \ -b & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1))=3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a,b)\cdot A(b,a))=(a^2+b^2)^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(m,n))=1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ a^2+1 & a^2+2 & a^2+3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care inversa matricei $\displaystyle A(a)$ are toate elementele numere întregi.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 12+a & a \\ 1+a & 3+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=36$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)-(12+a)I_2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle X \cdot A(0)=A(0)$. Arătați că cel puțin un element al matricei $\displaystyle X$ este număr irațional.