Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 13 \ -1 & -4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A \cdot A - A = aI_2$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m\neq n$, pentru care $\displaystyle \det(A+mI_2)=\det(A+nI_2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 5-a & 10 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(a) \cdot A(a) = A(0)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle A(-1) \cdot X = A(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+y-3z=1 \\ x-2y+z=0 \\ 2x+4y+az=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a+2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=-2$, determinați inversa matricei $\displaystyle A(-2)$.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, rezolvați sistemul de ecuații.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 \\ 0 & 3^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)) = 6^x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot A(x)$.

c) Demonstrați că, orice matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X \cdot A(x) = A(x) \cdot X$ pentru două elemente numere iraționale, este de forma $\displaystyle \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, pentru $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a^2 & a^3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(2)+xI_2)=0$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(b) \cdot A(a)$, atunci $\displaystyle a=b$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a+1 & a-1 \\ b & b-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2,3))=0$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in\mathbb{Q}$ și $\displaystyle b\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b)$ este inversabilă.

c) Determinați matricea $\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(-1,\sqrt{2})\cdot X=A(0,0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+2y-z=2 \\ y+3z=4 \\ 2x-y+az=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=18$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, rezolvați sistemul de ecuații.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+z=1 \\ y+z=a \\ x+y=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că sistemul de ecuații are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 2a+1 \\ a & 2a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(10)) = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)-A(b) = (a-b)(A(1)-A(0))$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(2)) + \det(A(3)) + \dots + \det(A(n)) = 35$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-10a & 8a \\ -5a & 1+4a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b-6ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(n)$.

Se consideră matricele $\displaystyle M=\begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2+a & 2 \\ 2 & 1+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(-a) + a^2 \cdot I_2 = M$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle M \cdot X = A(0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(a+b)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot X = M(0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ și $\displaystyle A(x)=\left(\begin{array}{cc}x-3 & 1 \\ 1 & 3-x\end{array}\right)$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \operatorname{det}(A(1))=-5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=2 A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(x)=10 I_{2}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A \cdot A = A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A \cdot X = I_2 + 3A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A-B)=-1$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle C = A \cdot A + B \cdot B$ nu este inversabilă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle X \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + A = O_2$.

c) Demonstrați că există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle \det(X+I_2) = \det X$.

Se consideră matricile $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_3)=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A + A = 2A \cdot A$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care matricea $\displaystyle B(x) = A+xI_3$ este inversabilă.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_2)=5$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 4A$.

c) Demonstrați că există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})$, pentru care $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x,y) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & -1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -4$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A-2B(x,y)) = 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x,y) = B(x,y) \cdot A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A-A \cdot A = I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ și $\displaystyle z$, pentru care $\displaystyle A \begin{pmatrix} x-2 & y \\ z+1 & 1 \end{pmatrix} - I_2 = O_2$.