Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 3 \\ -3 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=x^2+9$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(2020-x)+A(2020+x)=2A(2020)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n)A(n)-2A(n)=6I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 4 & -6 \ 2 & -3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x)=I_2+xA$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (m,n)$ pentru care $\displaystyle M(m)M(n)=M(6)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+x & x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = A(x+y+3xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a)A(a)=A(5)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = A + xB$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y) = M(y)M(x)$ dacă și numai dacă $\displaystyle x = y$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m,n)$ pentru care $\displaystyle M(m^2+1)M(n^2+1) = M((n^2+1)(m^2+1))$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay=1 \\ 2x+y+az=4 \\ -3x-y+z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real și $\displaystyle A(a)$ matricea coeficienților sistemului.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=-1$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluția sistemului de ecuații.

c) Demonstrați că, pentru orice număr rațional $\displaystyle p$, matricea $\displaystyle A(p)$ este inversabilă pentru orice număr rațional $\displaystyle p$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x,y)=xI_2+yA$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x,y)\cdot M(a,b)=M(xa+yb,xb+ya)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (x,y)$ de numere reale, știind că $\displaystyle \det(M(x,y))=4$ și suma elementelor matricei $\displaystyle M(x,y)\cdot M(x,y)$ este egală cu $\displaystyle 8$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x-2y+z = -1 \\ x-2y+z = 1 \\ ax+y+z = 3 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-9$.

b) Demonstrați că suma elementelor matricei $\displaystyle B(a)=A(a) \cdot A(a)$ nu depinde de numărul real $\displaystyle a$.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, arătați că sistemul de ecuații este incompatibil.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ln a \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(e)) = e$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a^2)) = (\det(A(a)))^2$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

c) Determinați numerele $\displaystyle a, b \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle A(a)+A(b)=2A(a) \cdot A(b)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a \\ a & -1 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay-z=1 \\ x-y+az=2 \\ ax-y+z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -4$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ pentru care $\displaystyle x_0 = y_0 = z_0$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (m^2-1)x+my+4z=1 \\ x+y+z=0 \\ mx+3y+2z=-1 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care tripletul $\displaystyle (-1,0,1)$ este soluție a sistemului de ecuații.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.

c) Determinați numerele $\displaystyle m \in \mathbb{Z} \setminus \{-7,2\}$, pentru care sistemul de ecuații admite soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, cu $\displaystyle x_0 \cdot y_0 \cdot z_0 \in \mathbb{Z}$.