Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(A(a)+B) = a$.

Se consideră matricele $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a^2 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real pozitiv. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

2. Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

5. Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)-A(0)) \ge 0$, pentru orice număr real pozitiv $\displaystyle a$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = xI_2 + A$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(M(x)) = 16$.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(M(x) - xA) \le 3x-2$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 1. Arătați că $\displaystyle \det (M(2)) = -5$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 3. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det (M(x)) = 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 6. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suma numerelor întregi $\displaystyle x$ care verifică inegalitatea $\displaystyle \det (nM(x)-xM(n)) \leq n^2$ este egală cu $\displaystyle 36$.

Determinați numărul real $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle \det(M(0,y))=9$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ a-1 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(A(a)) = 0$.

Demonstrați că $\displaystyle A(5a-1)A - A(5a+1)A = 2A(5a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care care deținet (\det(A(a))<0).

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle n(n+1)$ este par, de asemenea numerele naturale nenule $\displaystyle n$ și $\displaystyle n+1$ sunt consecutive, deci determinant (\det(A(n))) este par.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = aA + I_2$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

6. Demonstrați că $\displaystyle \det(M(a)) > 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculați $\displaystyle A · A - 6A = -I_2$.