Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5^{a} \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det\left(A(3)\right) = 125$.

Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(4) - A(2) \cdot A(3) = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ 2x & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = -18$.

3. Arătați că $\displaystyle \det(B(x)) = (2-x)(x+4)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Arătați că $\displaystyle \det(A+B(2)) < \det A + \det(B(2))$.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculați $\displaystyle \det A$.

3. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det((m-1)A) = m+1$.

Arătați că determinantul matricei $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$ este 0.

Calculați determinantul matricei $\displaystyle A+B$, unde $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ -6 & 7 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle det(M(0)) = 1$.

Calculați $\displaystyle A \cdot A$.

Determinați mulțimea valorilor lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle det(M(x^2)) < 5$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(0,0))=0$.

3. Arătați că $\displaystyle \det(A(x,y)) + \det(A(y,x)) = 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = -6$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle \det(A - xI_2) = -1$.

Se consideră matricele $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -5$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(aA(a)) = 0$.

Arătați că $\displaystyle \det(A(a) - B \cdot B - A(a)) = -9$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.