Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ a+4 & a & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -15$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care rangul matricei $\displaystyle A(a)$ nu este egal cu 3.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle M=A(-1) \cdot A(-1) - A(-1)$ are toate elementele numere întregi, divizibile cu 25.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & 1 \\ m+1 & (m+1)^2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele necoliniare $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(m,m^2)$ și $\displaystyle C(m+1,(m+1)^2)$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle m$, știind că triunghiul $\displaystyle ABC$ are aria egală cu $\displaystyle 1$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, rangul matricei $\displaystyle M(m)$ este diferit de $\displaystyle 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \ne 1$, știind că inversa matricei $\displaystyle M(m)$ este matricea $\displaystyle A$.

Se consideră matricele $\displaystyle O_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Se consideră matricea $\displaystyle B(a)=A(a)-I_3$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=O_3$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suma elementelor matricei $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot X=A(1)+A(2)+\ldots+A(n)$ este egală cu $\displaystyle 21$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 4 & 2 \\ 9 & 6 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = I_3 + A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle I_3 - \frac{1}{11}A$ este inversa matricei $\displaystyle B$.

c) Dați exemplu de trei matrice $\displaystyle U, V, T \in M_3(\mathbb{R})$, de rang 1, astfel încât $\displaystyle U+V+T = B$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ m & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+2y+z=0 \\ mx+y+z=0 \\ x-3y+2z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(m))=m-9$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de $\displaystyle (0,0,0)$.

c) Pentru $\displaystyle m=9$, se consideră $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ o soluție a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale astfel încât $\displaystyle (x_0,y_0,z_0) \neq (0,0,0)$. Calculaţi $\displaystyle \frac{x_0^2+y_0^2-z_0^2}{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ este o matrice dependentă de numărul real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A) = 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați rangul matricei $\displaystyle B = A(1) \cdot A(2) - A(3) - I_3$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} mx+y+z=1 \\ 2x+(m+1)y+z=2 \\ x+y+mz=m \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Demonstrați că, pentru $\displaystyle m=-3$, sistemul de ecuații nu are soluții.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, sistemul de ecuații are cel mult o soluție.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & m \\ 4 & 1 & m \\ 1 & -m & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+y+mz=4 \\ 4x+y+mz=6 \\ x-my-z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=2$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$, soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații verifică relația $\displaystyle \frac{y_0}{z_0}=x_0$.