Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = 17$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(2019-a) + A(2019+a) = 2A(2019)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați perechile de numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A(x)A(y) = 2A(-8)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 6 & -10 \ 3 & -5 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a)=I_2+aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a)M(b)=M(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(1)+M(2)+...+M(2019)=2019M(a)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+z=1 \\ x-ay-z=1 \\ x+y+az=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(1-a)(1+a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Pentru $\displaystyle a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere întregi.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=abI_3 + (a+b)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(0)A(1)A(2) \dots A(2019) = n! A(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1+4a & -6a \ 2a & 1-3a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(m)A(n)=A(2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} 1+a & -a \\ a & 1-a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2.$

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b.$

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot X \cdot M(-1) = A.$

Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & -9 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & a+2 \\ a-2 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 21$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) - A(-a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = M$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a+1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(ab+a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, $\displaystyle a,b>0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$, știind că $\displaystyle A(a)A(a)A(a)=A(7)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = -5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a)M(b) = M(a+b+4ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(a)M(a) = M(2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle det(A-3I_2)=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) = 4A-I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle det(aA+M)=0$, unde $\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Se consideră determinantul $\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} a & 2 & b \\ a & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(0,1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(a,1) \geq 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă numerele $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt întregi impare, atunci $\displaystyle D(m,n) \neq 0$.