a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{n(x^n-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^n}{x} = 0$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție în intervalul $\displaystyle (0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln x + 1}{\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = \frac{1}{e}$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{e}f(x) + 4 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 5(x-1)(x+1)(x^2+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty, 0]$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) = 2025$ nu admite nicio soluție în intervalul $\displaystyle [-1, 1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=6x(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-x^3+2x^2-x-2}{x-1}=2$.

c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=12x+2020$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle f^{\prime}(x)=5 x^{2}(x-3)(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -27 \leq f(x) \leq 1$, pentru orice $\displaystyle x \in[0,3]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2xe^{x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle xe^{x} \ge e^{x}-1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x_0 = 1$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f'$ este crescătoare pe $\displaystyle (1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este $\displaystyle y=24x-103$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x) = \frac{2(x-1)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2, + \infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle x=3$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (2, + \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{2}{3} \ln \frac{3}{2} \le \int_1^2 \frac{f(x)}{x^3} dx \le \frac{5}{18}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x^2+2x-2, x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)/x^3 = 3$.

c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle y = 3x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x^3-2x-2)dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2} e^x(f(x)-x^3-x^2-1)dx = -2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \left[-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x(x-2)$, pentru $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^3}{x-3}=-3$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(1-x)(1+x)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-7}{x-2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\le 11$, pentru orice $\displaystyle x\in [-1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(4x-1)}{x^2}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=9(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2019)+f(2021) \ge f(2020)+f(2022)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=12(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)-4x^3}{x}$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle 3 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.