Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(5-x)(x+1)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{10}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-e\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-e}{x}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle e^x-x^e=0$ are exact o soluție în $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+2)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -(x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le \frac{f(x)}{(x+2) \sqrt[4]{e^x}} \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{e^x} f(x) dx = \frac{1}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de inflexiune.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, + \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{2(x-1)}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, + \infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = -x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-x-5$.

a) Determinați panta tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x \ge (1-x)x+1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{5x-3}{x^2-x+3}, & x\in(-\infty,1) \\ x^2-\sqrt{x^2+3}+3, & x\in[1,\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ nu este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x\sqrt{x}+2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2+3^{x}-4, & x \in (-\infty,1] \\ \frac{x^2-x}{x^2}, & x \in (1,+\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x+4}{x^2+4x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)(x+3)f(x)dx = 5$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F : (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty} (x f(x)) = 2$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-2,+\infty)$.

c) Determinați $\displaystyle x \in [-1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle f(x) \in \mathbb{Z}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x)=x(\frac{2}{3}\sqrt{x}-1)$, pentru $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,-\frac{1}{3})$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x(2\sqrt{x}-3) \ge -1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{(e^x+x)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,f(1))$ este paralelă cu asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle g'(x)+g(x)=\frac{1}{e^x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f''(x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$, tangentele la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctele $\displaystyle A(a,f(a))$ și $\displaystyle B(-a,f(-a))$ sunt paralele.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - f(-x))$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două asimptote ale graficului funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2+4x+5}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x - \ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x+1}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^{2x}(x-5)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^{2x}(2x-9)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}$.

c) Arătați că $\displaystyle e^{2x} \le \frac{e^9}{2(5-x)}$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 5)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge \sqrt{\ln x+1}-1-\sqrt{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [e,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Se consideră dreapta $\displaystyle d$, asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul lui $\displaystyle f$. Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [0,\sqrt{3}]$.