a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-x(x+2)}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(g(1)+g(2)+...+g(n)) = e-1$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{(x+2)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(2x^2-x+2)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-1}{x(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Demonstrați că ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ .

c) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu intersectează axa $\displaystyle Ox$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-2x-3)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2020$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$, știind că graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează dreapta de ecuație $\displaystyle y=a$ în exact trei puncte.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -xe^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{f(n)}{f(n+1)} \right)^n$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale distincte.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\ln x$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați $\displaystyle m \in (0,\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle M(m,f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ln x \ge -\frac{1}{e}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{4(x-1)(x+1)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=n$ are două soluţii reale distincte.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(x-1) - \ln x}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (1,+\infty)$, deci $\displaystyle f$ este injectivă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(5)=6$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)^n$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ are trei soluții reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x^3}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este tangentă graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, ecuația $\displaystyle f(x)=n$ are două soluții reale distincte.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-1)(x-3)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty, 2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{e^x+x-1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=0$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2-x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(1)+f(2)+...+f(n)+2ln n)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x+1)}{\left(x^2+3\right)\sqrt{x^2+3}}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x))^x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^5+2\sqrt{x^{10}+3}\geq 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \left( \frac{3}{2} + f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) \right)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este injectivă.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=xe^{-x}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Determinaţi punctul de extrem al funcţiei $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x(x+2)}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a \in (-1, +\infty)$, știind că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = 3x + 2020$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x+1)^2 \ge 2\ln(x+1) + 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(x^2-1)}{2\sqrt{x^3-3x+2}}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

c) Arătați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție unică.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+3x-2}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2-x+1 \ge e^x f(x)$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.