Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{x-1}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinaţi abscisa punctului situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcţiei $\displaystyle f$ este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie $\displaystyle y=x$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(\frac{\pi}{2}) < 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(2x-1)e^{x}-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,4e^{-2})$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x - \frac{1}{x+1} - 2\ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2}{x+1} - \frac{2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(1+ \cos x) \leq \cos x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \pi)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^3-3x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [0,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 7$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x}-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x}-2}{2x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{x}-\ln x \geq 2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^2+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 (x^2+9)f(x)dx = 3$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de inflexiune.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^{2n}f(x)dx$. Arătați că $\displaystyle 0 \leq \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x-1+\frac{2}{x+1}-\frac{\ln x}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{(x+1)^2} - \frac{1-x\ln x}{x(x+1)^2}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră funcțiile $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x-1}{x+1}$ și $\displaystyle h:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle h(x) = \frac{\ln x}{x+1}$. Demonstrați că graficele funcțiilor $\displaystyle g$ și $\displaystyle h$ nu au niciun punct comun.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln x^e$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-e}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle e^x=x^e$ are exact o soluție în $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x-5}{x^2+5}.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{5(1-x^2)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f.$

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(2+x)}{(x^2+4)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2+4x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+5x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+6x+9}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+x+3}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \leq (x+3)^2e^x \leq 4e$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=7x^2-5x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=7(2x-1)$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle L = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq \frac{52}{49}$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[-\infty, \frac{1}{7}\right]$ și pentru orice $\displaystyle x \in \left[\frac{1}{7}, \infty\right)$

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3-8x^2+16x}{f(x)}$.

c) Demonstrați că pentru orice număr real $\displaystyle a, a>0$, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{f(x+a)} - \frac{1}{f(x)} \right)$ nu depinde de $\displaystyle a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+2x+2} - x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}} - 1$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=5 \ln x - x^2 - 3x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(1-x)(2x+5)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5 \ln x \le x^2+3x-4$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+4x+5)e^x$.

a) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2e^x-5e^x) dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-3}^{-1} \frac{e^x}{x^2} dx \le \frac{e^{-2}-1}{-3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3+\frac{x-3}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4-x}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [5,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x-3 \le e^x-1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2 - 3x + 1)}{(x-1)^3}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(0,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(2) + f(3) + \dots + f(n)\right)^{n}$.