Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \text{arctg } x - x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2}{x^2 + 1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) + g(x) = \frac{\pi}{2}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \text{arctg } x + x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x-2} - x + 1 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+6x}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-6)(x+2)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu are puncte de inflexiune.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=8x^2-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(4x-1)(4x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că punctul $\displaystyle A\left(\frac{1}{2},3\right)$ aparține tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right) < f\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) < f\left(\frac{1}{2}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1-\ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{\ln x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \le 1-\frac{1}{\sqrt{x}}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (x-1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e \le f(x) \le 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{x^2+2x-3}{(x^2+3)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -1 \le f(x) + \frac{1}{2}f'(x) \le \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Notă: Subpunctul c) pare să aibă o eroare în enunț, menționând $\displaystyle y$ când se referă la funcția $\displaystyle f(x)$ și derivata sa $\displaystyle f'(x)$. Vom rezolva conform baremului, care ignoră $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este perpendiculară pe axa $\displaystyle Oy$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+3}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$ pentru orice $\displaystyle x eq \frac{1}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle f(0) - \frac{1}{3}$.

c) Ecuația tangentei este $\displaystyle y - f(0) = f'(0)(x-0)$, adică $\displaystyle y = \frac{1}{3}x + 1$. Determinați intervalele de creștere/descreștere ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-3x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$ pentru $\displaystyle x \to \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, pentru orice $\displaystyle x \in [0, \infty)$ este funcție crescătoare.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^2 - 3x^2 - 6 \ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{6x^2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Demonstrați că valoarea minimă a funcției $\displaystyle f$ este $\displaystyle 0$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2+x+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{11}{6}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are exact două puncte de inflexiune.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x)dx = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x - 1)e^x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt[n]{e^{n-1}} - \frac{n}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \geq 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1 \le f(x) \le \frac{7}{4}$ și $\displaystyle f(x) \le 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+12x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-12x-5) dx = 0$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este o funcție convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{f(x)-12x-5}{x-2} dx = \frac{\pi}{8}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2-\sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{7}{2}$.

b) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2e^{2x^2-\sqrt{x}}\le\frac{3}{8}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^{x^2-6x+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2x-6)e^{x^2-6x+9}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x-3)^2 \le 4\ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty,3]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-6x+10$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x → 1} \frac{f(x)-5}{x-1} = 3$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(0,9) + f(1,1) \geq 10$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \ln (x^2+x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x+1)}{x^2+x+1} + \ln(x^2+x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle (a, f(a))$ care este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = \frac{1}{7}x+2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.