Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x+1}{x+1}$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa absciselor.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(1) + f(2) + \dots + f(n)\right)^n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^4+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x)(x^2+1)}{(x^4+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{4} \leq f(x) \leq \frac{1}{4}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^{2018}+2018x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2018(x^{2017}+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A(a,2020)$ aparține tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ care trece prin punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are exact două soluții reale distincte.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-3\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3-f(x)}{f'(x)}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \ln x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2 (\ln x)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ln x > x-1$, pentru orice $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+2017}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-(x+2016)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [-2015, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \textrm{R} \rightarrow \textrm{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+6x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x^2+6x+2$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x+2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -5 \le f(1)=9$, pentru orice $\displaystyle x \textrm{e} [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:( -2, +\infty ) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-\ln(x+2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x-\frac{1}{x+2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^4 - 2x^2 + 12$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{f(x) - x^4} = -\frac{1}{2}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2e^x - x^2 - 2x - 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2(e^x-x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x^2} + \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x}{2} + \ln x \ge 1 + \ln 2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3-6x+4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le f(x) \le 8$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - \ln x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-3}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+2x+3}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -2e \le f(x) \le \frac{6}{e^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, +\infty)$.

Se considera funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$, $\displaystyle x \ne 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = e^2+2x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3+2x^2+x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(x+1)(3x+1), x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^3} = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{4}{27}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=x(2\ln x+1)$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1+2e \int_1^e f(x)/x^2 dx = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x, x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+1 + \frac{1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (2, +\infty)$.