Se consideră funcția $\displaystyle f : (-2,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in (-2,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x-x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2\sqrt{3}) < f(3\sqrt{2})$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=xe^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-12x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle -16\le f(x)\le 16$, pentru orice $\displaystyle x\in [-2,2]$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru orice număr real $\displaystyle a\in(-1,1)$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are soluţie unică.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^3-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = -x^{3}+3x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(1-x)(1+x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -9$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x+\ln x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică în intervalul $\displaystyle (0,1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-3x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+3x}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\geq -2$, pentru orice $\displaystyle x\in[-1,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln \frac{x+1}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f'(2)+f'(3)+f'(4)+...+f'(n)) = - \frac{3}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(e) < \frac{7}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x^2 f(x) dx = e(e - 1)$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle [2, +\infty)$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = 2$ are aria mai mică sau egală cu $\displaystyle e(e - 1)$.

a) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 7$. Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6x^2 - 6x(x-1)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{x-2} = 12$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f: x \in [0, +\infty) \rightarrow f(x) \geq 6$, pentru orice $\displaystyle x \in [0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-x^3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(1-x^2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{f(x)} = 0$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-8\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-2)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are două soluții reale distincte.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2-x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^3}=1$.

c) Determinați abcisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle y=4x+1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-2x)dx = \frac{1}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^{x}(f(x)-x^3-x^2)+1)dx = 3e^2+1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x}$ și sirul de numere reale $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle x_n=f(n)$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că șirul $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ este descrescător.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, +\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=\frac{mx^2+4x-m}{x-1}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care dreapta de ecuație $\displaystyle y=3$ este asimptotă orizontală la graficul funcției $\displaystyle g:(1, +\infty) \to \u211D$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-5}{x-2}$.