a) Arătaţi că funcţia $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = -\frac{x^2+2x+2}{e^x}$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$.

b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0, 2)$.

c) Arătaţi că funcţia $\displaystyle F$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (1, 3)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x^2+4x+3}{x^2+x+1}$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(f(x+1)-f(x))$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(\sqrt{7}) < f(\frac{5}{4})$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{12x}{(x^2-3)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.

b) Determinați asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$ situat pe graficul funcției.