a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (3x-x^2) \cdot e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Să se scrie ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele $\displaystyle x \in [0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle f(x)$ este număr întreg.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln x}{4x\sqrt{x}}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în $\displaystyle x_0 = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le f(x) \le \frac{1}{e^2}$, $\displaystyle \forall x \ge 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(4x-1)(4x+1)}{x}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2xe^x - 3e^x + 2}{(e^x - 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} - \{0\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are exact două puncte de extrem.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2x \ln(x-1) + \frac{x^2-4}{x-1}$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 0$, oricare ar fi numărul $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că $\displaystyle F(-1) < F(-\frac{1}{2})$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = xf(x) + F(x)$ cu proprietatea că originea reperului cartezian $\displaystyle xOy$ este punct pe graficul funcției $\displaystyle G$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^4}{x^2+1}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x - \frac{x^3}{3} < \operatorname{arctg} x < x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(\frac{1}{e}) = 3e^3$.

b) Determinați ecuația asimptotei către $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați inegalitatea $\displaystyle x^2e^x \le e^x$, $\displaystyle x>0$.

a) Demonstrați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x \cdot e^{x}}{(x+1)^{2}}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [0,1]$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1 \le f(x) \le \frac{e}{2}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2-2x-12)}{(x-2)^3}$, pentru $\displaystyle x \in (2,\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(f(x)\right)^{\frac{x^2-2x}{x}}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale și distincte.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^3 + x^2 + 3x + 2)}{(x^2 + 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^{x}(2x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2 \cdot f'(x)} = \frac{1}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le e^{x-1}(4-2x) \le 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Să se compare numerele $\displaystyle 3^{\sqrt{5}}$ și $\displaystyle 5^{\sqrt{3}}$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle G : R \to R$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle G(0) = \frac{1}{e}$.

b) Să se determine primitiva $\displaystyle G : R \to R$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle G(0) = \frac{f(x)}{x}$.

c) Să se demonstreze că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un punct de minim.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}, \forall x \in \mathbb{R}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(f(x)\right)^{\frac{1}{x}}$.

c) Demonstraţi că pentru orice număr real $\displaystyle a \in (1, \sqrt{2})$ ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale strict pozitive.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4(x-1)(x^2+x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un singur punct de extrem.

c) Fie $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ numere reale pozitive astfel încât $\displaystyle a+b \ge 1$. Demonstrați că $\displaystyle f(a) + f(b) \ge 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(x^2+4)}{(x^2+x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{3} \leq f(x) \leq \frac{4}{3}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

a) Demonstrați că $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{g(x)}{f(x)} dx$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle h: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle h(x) = f(x) - g(x)$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

c) Arătați că $\displaystyle f$ este bijectivă.