a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln(x+1)}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$.

b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de intersecție al graficului cu axa $\displaystyle Oy$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5^{\sqrt{6}} < 6^{\sqrt{5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x^2+1)-(x^2-x+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{2}{x^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}^*$.

b) Determinați asimptotele spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle g:(-\infty, 0) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x)}{f(x)}$.

c) Stabiliți intervalul pe care funcția $\displaystyle f$ este strict descrescătoare.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^3 - x - 6}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x^2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\ln x$, pentru $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați $\displaystyle m\in(0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle M(m,f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x\ln x+\frac{1}{e}\geq 0$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{xe^x}{(e^x+1)^2} \cdot x+e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x - y \ge \ln \frac{x+1}{y+1}$, oricare ar fi $\displaystyle x, y > 0, x \ge y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x(2\ln x+1)$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\geq -\frac{3}{2e}$, oricare ar fi $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{f(x)}$.

b) Să se demonstreze că funcția este crescătoare pe $\displaystyle [0, \infty)$.

c) Să se arate că funcția $\displaystyle f$ nu este surjectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x + \frac{1}{x}, x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, 4)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x+1)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2+x+1 \le \frac{3}{e^{x+2}}$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, -1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (-\infty, 1)$.

b) Scrieți ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții în intervalul $\displaystyle (-\infty, 1)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F: (0, \infty) \to \mathbb{R}, F(x) = x \operatorname{arctg} x - \frac{1}{2} \ln(x^2+1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_1^x f(t) dt$.

c) Determinați acea primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g$ al cărei grafic conține punctul $\displaystyle A(\sqrt{3}, \ln 2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle 0 < f(x) + f(2-x) \le \frac{4\sqrt{3}}{3}$, pentru orice $\displaystyle x \in [1, +\infty)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle [0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu este surjectivă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{x^2-x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 g(x)dx$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=\frac{e^x f(x)}{x^2+1}$.

c) Aflați intervalele de concavitate și convexitate ale funcției $\displaystyle F$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) - f''(x) = 1-x$, oricare ar fi $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Stabiliți intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x - (1-x) \leq 1$, oricare ar fi $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)+f(y) \ge 6$, pentru orice $\displaystyle x, y \in (-1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^4}{x^2+1}\cdot \frac{1}{x^2+3}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x-\frac{x^3}{3} < \operatorname{arctg} x < x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2x^2+1}{x^2+x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x > 0$.

b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d: y = 2x-1$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.