a) Verificați dacă funcția $\displaystyle g$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva funcției $\displaystyle g$ a cărei reprezentare grafică conține punctul $\displaystyle O(0,0)$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x_0=1$.

b) Stabiliți dacă $\displaystyle f$ este derivabilă în punctul $\displaystyle x_0=1$.

c) Arătați că $\displaystyle f$ este descrescătoare.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-7}{(x+1)^2(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,2\}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Oy$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale distincte pentru $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției.

c) Demonstrați $\displaystyle f\left(\frac{1}{2024}\right) + f(2024) \ge \frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = - \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+2e^x\right) dx = -1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, și funcția $\displaystyle F$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (-\infty, 1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x)}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^x$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$, $\displaystyle f(x) \ge 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2-x+2)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x+1) - f(x))$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x-2)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{e^x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\ge -1$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \int f(x)e^{-x}dx$, $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle H:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)$, știind că $\displaystyle H(1)=3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^3}(x+2)$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2-1}=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - f(x)}{f'(x)}$.

c) Arătați că $\displaystyle 5 \le f(x) \le 6$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-\infty, -2)$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) < e^{x^2-1}$, $\displaystyle \forall x \in (-\infty, -2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x(x - 6)$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Să se demonstreze că $\displaystyle f'(x) + f(x) = x^2 + 1$, $\displaystyle (\forall) x \in \mathbb{R}$.

b) Să se determine ecuația asimptotei spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Să se demonstreze că $\displaystyle f(x) \ge 1$, $\displaystyle (\forall) x \in \mathbb{R}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} (\frac{f(x)}{x} + g(x)) dx$.

c) Determinați numărul $\displaystyle a \in (1, +\infty)$ știind că $\displaystyle \int_{1}^{a} g(x) dx = \frac{\ln a}{2}$.

a) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$ funcția $\displaystyle f$ este convexă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-1}{f'(x)}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln(x-1)-\ln x+1}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ nu are soluții reale pentru niciun număr întreg $\displaystyle m$.

a) Să se calculeze $\displaystyle f'(x)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) - f(-1) = 3$.

c) Să se arate că funcția este crescătoare, oricare ar fi $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \int (F(x) + 6x^2 - 8) dx$.

b) Să se verifice dacă funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{4} + 6x^2 - 2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Să se determine $\displaystyle a \in \mathbb{R}$, $\displaystyle a > 1$, astfel încât $\displaystyle \int_1^a (F(x) - x^3) e^x dx = 36e^a$.