Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - x - 7$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (1-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^{x^2}} dx = e$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{e^{x^2} - f(x)}{x^2} dx = \frac{3}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x^2e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Aflați ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2e^x$.

a) Determinați $\displaystyle \int f(x)e^x dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = e^x (-x^2 + x + 1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [0, 3]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:[1, \infty) \to [1, \infty)$, $\displaystyle f(x) = x \cdot (1 + \ln x)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2+\ln x$, $\displaystyle x \in [1, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

c) Calculați următoarea limită $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f^{-1}(x) \cdot \ln x}{x}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{e^x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-2x}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle (2x+1)\sqrt{e} \le 2e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+4x+5}-x-2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că imaginea funcției $\displaystyle f$ este intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \ln x$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \left[\frac{1}{e}, \infty\right)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{1}{e}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}$, definită prin $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 2}$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctele de extrem local ale funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_{n+1} = f(a_n)$, pentru $\displaystyle n \ge 1$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}$. Studiați convergența șirului $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ și în caz de convergență, calculați limita șirului.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \operatorname{arctg}x$, $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = \int_0^x F(t) dt$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle G_1$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x F(x)$ cu proprietatea că graficul lui $\displaystyle G_1$ conține punctul $\displaystyle A(1, -\frac{\pi}{4})$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{G(x)}{x^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1)$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x), x \in (-1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \le x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}$.

a) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ are o singură soluție în intervalul $\displaystyle (1,\infty)$;

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$;

c) Demonstrați că $\displaystyle f(\lg 99) + f(\lg 101) < f(\lg 97) + f(\lg 103)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \setminus \{\frac{1}{e}\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{1+\ln x}$.

a) Studiați existența asimptotelor verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle P(x_0, f(x_0))$, care este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$, de ecuație $\displaystyle x-4y+2023=0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(1+\sqrt{1+n^2}) \leq \sqrt{1+n^2}$, oricare ar fi $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că graficul funcției $\displaystyle f$ admite $\displaystyle 2$ puncte de extrem $\displaystyle x_1, f(x_1)$ și $\displaystyle x_2, f(x_2)$ și calculați $\displaystyle f(x_1) + f(x_2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x} - \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{2x}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $\displaystyle 1$.

c) Demonstrați că funcția este crescătoare pentru orice $\displaystyle x \in [4,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, x \le 0 \\ e^x + 2x, x > 0 \end{cases}$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ admite primitive .

b) Arătați că orice primitivă este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0)$.

c) Calculați $\displaystyle \int x \cdot f(x)dx$, pentru $\displaystyle x \in [0,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-1,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln(x+1) - \frac{x}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle \forall x \in (-1,\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \ge \frac{x}{x+1}$, $\displaystyle \forall x \in (-1,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{ \sqrt{x^2+1} }$.

a) Arătați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=x-1$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$ spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x^2+1)^{2024}}$.

a) Determinați mulțimea primitivelor funcției $\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(\sqrt{x-1})$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x\ln f(x)}{x^2+1}dx = -506\ln^2(x^2+1)+C, C \in \mathbb{R}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = e^{2x}-2x$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(0,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{2x} \ge 2x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,+\infty)$.