Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\ln^2 x - x \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)\ln x}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-2x+\sqrt{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-(x^2-2x))dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{f(x)-x^2+2x}dx=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x F(t)dt = \frac{1}{2}$, unde $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x^2}(x^2 - x + 1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^{x^2}(x^2 + 3x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} + f(x)}{x^2 - 4x} = \frac{1}{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x^2}(x^2 + x - 1) \le 5$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+4x+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{2(x+2)}{(x^2+4x+5)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x^2-1)f(x)=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5f(x)+f'(x)\le 2$, pentru orice $\displaystyle x\in[0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-4x}{(x^2+1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+1)^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact trei soluții.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e^x(2x^2-3x).$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(2x^2+x-3),$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}.$

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=a$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, are panta egală cu $\displaystyle 0.$

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^4-4x^3-12x^2-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=12x(x+1)(x-2)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3x^4+5\geq 4x^3+12x^2$, pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x^2+1}-3\text{ln}(2x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (2,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-1+3\ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-3\ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge 1 - \frac{1}{x}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 4x+3-\frac{6}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3+6\sqrt{x})dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 \frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}dx = 12$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x) \cdot \sqrt{x}$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x+2x+1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{xe^x+1}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac{2}{5}$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{x^2+6}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(3-x)(2-x)}{(x^2+6)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x \cdot f(x)) = 2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=a$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, are panta egală cu $\displaystyle 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^{x^2-x}}{\sqrt{x-1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^{x^2-x}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \sqrt{e}$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=mx$ are exact două soluții.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x} + \ln(x+3)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x-1)(4x+3)}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x+3)-f(x)}{x-1} = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x^2} \ge \frac{4\ln x+3}{x^2+3}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+4x)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f(x)e^{-x}dx = 27$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f(x)}{x^2+4}dx = -1$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x^2)}{x^2}$. Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-3}{x^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{9-x^2}{x^4}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 9f(2x) - f(x) \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \operatorname{arctg} x - \ln(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \operatorname{arctg} x - \frac{x}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Fie funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f'(x)$. Determinați imaginea funcției $\displaystyle g$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.

a) Determinați asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3^{\sqrt{5}} < 5^{\sqrt{3}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{x^2+1}$.

a) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este funcție convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\int_{1}^{n+1} f(x)dx}{n} = 1$.