a) Calculați $\displaystyle f'(x)$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ unde $\displaystyle f(x)=(2x^2+3x+2)/(x^2+4)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are soluție unică, pentru orice număr întreg $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x^2+5x+4)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{e^{32}}{e^{x^2+4}} \le \frac{1}{e^x}$ pentru orice $\displaystyle x\in[-4,0]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2-2x-3)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{e^x}{x-2} \ge 3$ pentru orice $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-3\ln x}{x^4}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{5(x-1)(x+1)}{2x \sqrt{x}}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{\frac{x+ \sqrt{x}}{2}} = \frac{5}{2}$.

c) Arătați că $\displaystyle f'(x) \leq 26$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x\in(1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x+1)}{x(x+2)}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3-x}{e^x}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e^{-1} \le f(x) \le 1$ pentru orice $\displaystyle x \in [1,4]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-8x^3}{x^2-5x} = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x-1)(x-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+3x}{\ln x} = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) \le -\frac{21}{4}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,1]$ și orice $\displaystyle y \in [1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'\left(x\right) = \frac{4\left(x^3 - 1\right)}{x^2}$, $\displaystyle x \in \left(0, +\infty\right)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle 6 \le 2x^2 - 1 - \frac{4}{x} \le 33$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[1, 4\right]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3 - \ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0, + \infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 3$.

c) Determinați cel mai mare număr întreg $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+2)(4-x)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -4e^2 \le f(x) \le e^3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3,4]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{9}{(x+4)^2}$, $\displaystyle x \in (-\infty, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (-\infty, +\infty)$, știind că panta tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ este egală cu $\displaystyle 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4}{x(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x) = n$ nu are soluții.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)-f(y) \le \frac{3-e}{3e}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, cu $\displaystyle x \le 0 \le y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)+\ln x - 4}{x^2-3x-3} = \frac{4}{3}$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{4x^2-1}{x} \ge \ln(2x)$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.