Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2+2x-2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+4x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x \cdot f'(x)}=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x+4}(x^2+2x-2) \le 6$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-3x+4+\frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le \frac{11}{4}-\ln 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-1-\ln(e^x+x^2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(2-x)}{e^x+x^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de coordonate $\displaystyle (a, f(a))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1+\ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\ln y}{y^2} < \frac{\ln x}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x,y \in (1, +\infty)$ cu $\displaystyle x < y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x)-x^3) dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^2}{f(x)-x^2+2} dx = \frac{\ln 5}{3}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)e^{-x}}{x}$. Arătați că orice primitivă $\displaystyle G:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1+\frac{8}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2-4)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(1-x) \ge f(1+x)$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)e^x - e^x}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2}{x}-3\ln x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle x^2+x-2 \le 3 \ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{3x-4}{x-4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{8}{(x-4)^{2}}$, $\displaystyle x\in(4,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:(4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)+x$ este crescătoare.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x^2}(2x-4)x^2-2x+4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2(x-1)(e^x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x} = 4$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are exact două soluții.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x^{2}+x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2\left(4-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)-f(4-x) \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in [4,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{2x-1}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2(1-x)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2-2)e^{2x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^4+6x^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 (f(x)-6x^2)dx = \frac{12}{5}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{x^3}{f(x)-1}dx = \frac{\ln 6}{2}$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3}\int_0^x (f(2t)-f(t))dt = 6$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-x-2\ln(x+1)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+x-3}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle x^2-x \ge 2\ln(x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}, x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-2\ln x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$ situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle \ln\left(\frac{x}{2}\right)\le\frac{x-2}{2}$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{4x^3}{(x-1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}$, $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact două soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (27, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x-6}{x^2}+ \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x+6}{x^3}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(f(x)-\ln x)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle 4f(x)-1\ge \ln 16$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.