a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x(x-6)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^3 - 9x^2 + f(x) - f(1)} = -\frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x\sqrt{x}}=10$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x\in(1,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\ge 5$, pentru orice $\displaystyle x\in(1,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6x^2(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+3x^2}{x^3+4} = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -32 \le 2x^3 - 3x^2 + \frac{1}{16}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=m$ are exact două soluții.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{6(1-x^2)}{x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^3+3}}$ pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1, f(1))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x^3+3} \ge \frac{\sqrt{x}}{x^2+5}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-x-6}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \leq \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} - \frac{x^2-x-6}{x^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x-\frac{4}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ care este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\operatorname{tg}(x)$, pentru orice $\displaystyle x\in[0,1]$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}$, $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(x)-x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ pentru orice $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}$, $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați în $\displaystyle (1,\infty)$ că $\displaystyle \frac{x+3}{3(x-1)} \ge 1-\frac{x}{3}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(2-x)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice $\displaystyle x,y \in [1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - 4\ln x) dx = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x f(x) dx = 3e^4 + 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} f(x) F''(x) dx = \frac{(3e-1)(3e+5)}{2}$, pentru orice primitivă $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x^2 + 4x - 5)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x f'(x)}{f''(x)} = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = +\infty$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact trei soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (e, 3)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)+f(x^2) \ge \frac{17}{3}$ pentru orice $\displaystyle x \in (1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(e^x-1)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = mx + n$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{28x}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică.