Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+3)f(x)dx=2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 g(x)dx = \ln \frac{9}{5}$, unde $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{2x+1}{x} \cdot f(x)$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle 0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_a^b (f''(x))^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+4x-\frac{1}{x+2}\ln(x+2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2+4x-f(x)}{x+1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2+4x+\frac{1}{2} \geq \frac{15}{4}\ln(2x+4)$, pentru orice $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + \frac{4}{x} - 5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că nu există asimptotă spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + \ln x - 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^x + \frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x + \ln x \ge \sqrt{e} + \ln \frac{1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{-8x}{(2x^2+1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{24(2x^2-1)}{(2x^2+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (xf(x)\ln x) = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 4\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(x^2-1)}{x}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) = 0$ are exact două soluții distincte în intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-3 \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x-1)(x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2 \ge 3 \ln x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) e^{-x} dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1-a}^{-1+a} f(x) dx \ge -\frac{2a}{e}$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\left(-\frac{1}{3},+\infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x}{3x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(3x+1)^{2}}$, $\displaystyle x \in \left(-\frac{1}{3},+\infty\right)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(x^2-4)+2x(x^2-9)$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x) dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{e^{2x}+x^4+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle x-\sqrt{3}y=0$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un unic punct de extrem.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{2} \le \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \le \sqrt{6}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)} \cdot e^x = e^{-2}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{e^{-x}}-1$ are un singur punct de extrem.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\ln(x^2+1)\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1} + x^2\left(\frac{2}{x^2+1}\right)$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(n, f(n))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = \frac{1}{5}x+1$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x - \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(e^x-1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=0$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\le f(x^2)$, pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x^2+4)f(x)dx=6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x}f(x)dx=\ln 2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2+\frac{e^x-x}{e^x-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in [1,2)$, ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are soluție unică.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2+1+\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4x^2+1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4} = 2$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3+5x^2-10x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=10x^2(x+2x-3)$, x real.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2x^3+5x^2-10x+3 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-3x+1}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+5x-4}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că axa $\displaystyle Ox$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=n$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.