a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = 2-e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f(x^2)dx \le \int_0^1 f(x)dx$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2+1)-2x(e^x-1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătaţi că graficul funcţiei $\displaystyle f$ nu admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) < f\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (x-1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{x-2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2-8 \geq 4e^{2-x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(x+1)(x-2)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [-2,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(6x+5)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)+5\ln x}{x f'(x)} = \frac{1}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3x^2-x-2 \ge 5\ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+5)}{(x+3)^2}$, $\displaystyle x \in (-3, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2+f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (-3, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -6(x-1)(x+3)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră punctele $\displaystyle A(-2, f(-2))$ și $\displaystyle B(0, f(0))$ din graficul funcției $\displaystyle f$. Arătați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ au pantele egale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(1-x)}{(x^2-2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{e^x-e}$.

c) Arătați că $\displaystyle (2-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^5+2)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3}{(x+5)^2}$, $\displaystyle x \in (-5, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=3x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}, x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2f(x)}{x-1} = -1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x^2-x-2$, pentru $\displaystyle x \in \u211D$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{e^x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{21}{2}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} (x^2+1)f(x)dx = 24$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{x^2+5}dx$.

c) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle [0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(e^{2x}+2-2e^{2x})}{(e^{2x}+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un unic punct de extrem.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (\sqrt{x^2+1}+2)^2-2\sqrt{4x^2+4x+2} \le (x-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^x + \frac{-2x(x^2+1) - (1-x^2)(2x)}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-2x^3-2x - 2x + 2x^3}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-4x}{(x^2+1)^2}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x + \frac{1}{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x + \frac{1-x^2}{x^2+1}}{e^x + \frac{1}{x+1}}$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ a graficului funcției $\displaystyle f$. Deoarece $\displaystyle x \in [-1,1] \implies y \le 0 € f'(x) \ge 0$, f este crescătoare pe $\displaystyle [-1,1] € f(-1) \le f(x) \le f(1)$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$. d) Calculați $\displaystyle \frac{2-e}{2e} - e € f(x) \le \frac{2e+1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție.