Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+\ln(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+4x+2}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x+1)-f(x))$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+2}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^2+3)}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^{2x}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1 - (x+3)\ln(x+1)}{(x+1)(x+3)^2}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x f(x))$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+5)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x-1)^2$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

c) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează orice dreaptă paralelă cu axa $\displaystyle Ox$ în cel mult un punct.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-1)\ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1+\ln(x+1)-\frac{2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty}\left(f(x)f\left(\frac{1}{x}\right)\right)$.

c) Demonstrați că orice două drepte distincte, tangente la graficul funcției $\displaystyle f$, sunt concurente.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (3, +∞) \to →$, $\displaystyle f(x) = \ln(x-3) - 2 ln(x^2-9)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-9}{x^2-9}$.

b) Determinați intervalul de monotonie al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +∞} (x-3)f(x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2(x^2-9)+3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(2x^2-13)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin(x-3)}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{30}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact patru soluții reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x\ln x-x^2+3$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=0$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2x\ln x \le x^2-1$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2x-a}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle a=0$, arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2x}}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=\sqrt{2}$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, graficul funcției $\displaystyle f$ admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=2021$ este paralelă cu asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = -1 + \frac{3}{x} + \frac{4\sqrt{x}}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+2x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+2}{(x^2+2x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x+1+\sqrt{x^2-x+1}, & x \in (-\infty, 0) \\ x\ln(x+1), & x \in [0, +\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a<0$, tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ nu este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x-\operatorname{arctg} x}{5x}, & x<0 \\ x^2+x+4, & x \ge 0 \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,0)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x^2+2x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{3} x(x+2)f(x)dx = 16$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x)dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3}{x^6+7}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-3x^2(x^3-1)^2}{(x^6+7)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x)-f(y)| \le \frac{7}{7}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+1)\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \frac{1}{x} + \ln x$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,0)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,1) \cup(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{4 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in(-1,1) \cup(1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul intersectează axa $\displaystyle O y$.

c) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(f(x)+1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle e^x(f(x)+f'(x))=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln x+a(x+1)$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\ln x+1+a$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, funcția $\displaystyle f$ este convexă.