a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \frac{2}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=12x(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{f(x)-4x^3}$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 8x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -5 \le f(x) \le -3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-2)^2}{x}, x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(3,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$ astfel încât punctul $\displaystyle M(a,b)$ este situat pe graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=x^2-8\ln x+2$ și punctul $\displaystyle N(a,c)$ este situat pe graficul funcției $\displaystyle h:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, h(x)=8x-12$. Demonstrați că $\displaystyle b \ge c$, pentru orice $\displaystyle a \in [2,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+4)f(x)dx = -\frac{11}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0]$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_1^n x^n f(x)dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = -\infty$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0)=0$.

b) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției $\displaystyle f$ sunt concurente.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x \ge x^2(x^2-x+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 15$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -13 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, 2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x-2} > \ln \frac{1}{x-1}$, pentru orice $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x \left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-f(x)}{x}$.

c) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x}+\ln x$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = \ln 4$.

b) Se consideră tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(a, \ln(16e))$ este situat pe această tangentă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \ln(x+1) + \frac{x}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g: (-1,0] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (x+1)^x$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle x_1, x_2 \in (-1,0]$ astfel încât $\displaystyle x_1 \leq x_2$, atunci $\displaystyle g(x_1) \geq g(x_2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x+1)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(2x^2 - 1)}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$, ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are exact patru soluții reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) + \ln(x^2+1) \le \frac{5}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$, dacă $\displaystyle g(1) = \frac{3}{2}$ și $\displaystyle g'(x) = f(x)+\frac{1}{x^2+1}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle [2, +\infty)$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$, $\displaystyle x \in (-1,1) \cup (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Oy$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( f(2)+f(4)+f(6)+...+f(2n) \right)^n$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-x^2+4x-3}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x-1 \le 2e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,+\infty)$.