a) Arătați că $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x_0=1$.

b) Stabiliți dacă $\displaystyle f$ este derivabilă în punctul $\displaystyle x_0=1$.

c) Arătați că $\displaystyle f$ este descrescătoare.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2-x+2)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x+1) - f(x))$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Verificați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x+5)}{(x+2)^3}$, $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 4$, pentru orice $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

a) Să se arate că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f$, știind că graficul primitivei trece prin punctul de coordonate $\displaystyle A\left(-1,-\frac{2}{e}\right)$.

c) Să se arate că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x+3)^2dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)(1+x)}{\left(x^2+1\right)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle -\frac{1}{2}\leq f(x)\leq\frac{1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{3x-2f(x)}{x+1} dx = 4$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x) dx$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-2}{x^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}^*$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) - x$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m > 0$, ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are soluție unică în $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(2x+3)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ astfel încât tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ să fie paralelă cu dreapta $\displaystyle y=2x+1$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) + f(y) \ge 10$, $\displaystyle \forall x, y \in [1,+\infty)$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{f(x)} - \sqrt{x^2+x}\right)$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x) + 2^x = 0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [-1,0]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2-2x-12)}{(x-2)^3}$, pentru $\displaystyle x \in (2,\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(f(x)\right)^{\frac{x^2-2x}{x}}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale și distincte.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle (0;+\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{2}^{e^2} f(x)dx$.

c) Dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (1;+\infty)$, demonstrați că $\displaystyle F(1) < F(4)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^3 + x^2 + 3x + 2)}{(x^2 + 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

c) Arătați că $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(x) + f(x^2) \ge 1$ oricare ar fi $\displaystyle x \in (1, \infty)$.