a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(x^2-1)}{x}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) = 0$ are exact două soluții distincte în intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(x^2-4)+2x(x^2-9)$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x) dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle x-\sqrt{3}y=0$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un unic punct de extrem.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1} + x^2\left(\frac{2}{x^2+1}\right)$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(n, f(n))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = \frac{1}{5}x+1$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in [1,2)$, ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are soluție unică.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4x^2+1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4} = 2$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x\in(1,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\ge 5$, pentru orice $\displaystyle x\in(1,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(2-x)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice $\displaystyle x,y \in [1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{28x}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2(1-x)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x+1)}{x(x+2)}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3-x}{e^x}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e^{-1} \le f(x) \le 1$ pentru orice $\displaystyle x \in [1,4]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+2)(4-x)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -4e^2 \le f(x) \le e^3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3,4]$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctele de extrem local ale funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_{n+1} = f(a_n)$, pentru $\displaystyle n \ge 1$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}$. Studiați convergența șirului $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ și în caz de convergență, calculați limita șirului.

a) Studiați existența asimptotelor verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle P(x_0, f(x_0))$, care este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$, de ecuație $\displaystyle x-4y+2023=0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(1+\sqrt{1+n^2}) \leq \sqrt{1+n^2}$, oricare ar fi $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{x^2-2}{x-2} \, dx, x \in (0,1)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ admite primitive.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ admite primitive .

b) Arătați că orice primitivă este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0)$.

c) Calculați $\displaystyle \int x \cdot f(x)dx$, pentru $\displaystyle x \in [0,\infty)$.